Del origen de la topología, a la resolución de un problema matemático y el hombre que lo logró

Hace más de una década, Grigori Perelman, uno de los grandes cerebros del siglo XXI, le dijo ‘adiós’ a su profesión y a la vida pública.

Ya para entonces era mundialmente famoso por resolver uno de los más difíciles enigmas matemáticos cuyos orígenes se remontaban al siglo XVIII.

La antigua ciudad prusiana Königsberg -hoy Kaliningrado, Rusia- tenía siete puentes, pues el río Pregel no sólo la atravesaba, sino que se bifurcaba creando una isla y dividiéndola en cuatro regiones.

A modo de juego para los intelectuales de la época, se formuló una pregunta que se convertiría en un célebre problema matemático:

¿Es posible dar un paseo comenzando desde cualquiera de las cuatro regiones de Königsberg, cruzando todos los puentes una sola vez y regresando al mismo punto de partida?

Encontrar la solución resultó ser mucho más difícil de lo que parece. Eventualmente, en 1735, el gran matemático Leonhard Euler dio la respuesta: no era posible.

Para resolver el problema, dio un salto conceptual. Se dio cuenta de que las distancias entre los puentes eran irrelevantes; lo que realmente importaba era cómo estaban los puentes conectados entre sí.

La solución de Euler era importante porque no se aplicaba únicamente a la ciudad de Königsberg, sino también a todas las configuraciones que eran topológicamente iguales.

¿Topológicamente?

Esa solución al rompecabezas abrió las puertas a un nuevo tipo de geometría de posición: la topología.

Puede sonar muy ajeno, pero muchos de nosotros nos beneficiamos de la topología todos los días.

Prácticamente todos los diseños de los mapas de metro del mundo se basan en principios topológicos, para comunicar claramente lo que los usuarios necesitan saber: cómo llegar a donde quieren ir.

Aunque la topología tuvo sus orígenes en los puentes de Königsberg, fue en manos del más famoso y respetado de los matemáticos de finales del siglo XIX, el francés Henri Poincaré, que el tema se convirtió en una nueva y poderosa manera de ver la forma.

A grandes rasgos

La principal idea detrás de la topología es que cuando se estudia un objeto, lo importante son sus propiedades, no el objeto en sí, y si dos objetos comparten las mismas propiedades, deben estudiarse, pues los resultados se escalarán a todos los objetos que comparten estas propiedades, llamados objetos homeomorfos.

Algunas personas se refieren a este importante campo de las matemáticas como ‘geometría flexible’ porque según él, dos formas son la misma si se puede transformar una en otra sin romperlas.

Entonces, por ejemplo, topológicamente una pelota de futbol y una de rugby son equivalentes porque una puede transformarse en la otra.

Es por eso que se dice que un topólogo es una persona que no sabe cuál es la diferencia entre su taza de café y su dona.

Y es que, aunque suene raro, topológicamente una taza y una dona son iguales.

Pero, mientras que es posible deformar una dona para convertirla en una taza y viceversa, no hay manera de deformar una bola para transformarla en una dona porque no podemos crear el agujero de la dona sin cambiar las propiedades de la esfera.

El problema

Poincaré llegó a conocer todas las posibles superficies topológicas bidimensionales. Además, desarrolló todas las formas posibles en las que podía envolver ese universo bidimensional plano.

Pero vivimos en un universo tridimensional, entonces, en 1904, se preguntó, ¿cuáles son todas las formas posibles que nuestro Universo puede tener? Trató de encontrar la respuesta pero murió en 1912 sin lograrlo.

Ese problema topológico llevó a lo que se empezó a conocer como la conjetura (o hipótesis) de Poincaré, y quedó como un legado para futuras generaciones de matemáticos.

Simplemente no se pudo

Con el correr del siglo XX, legiones de matemáticos trataron de solucionar lo irresoluto. 70 años después de la muerte de Poincaré, la conjetura había sido resuelta para todas las otras dimensiones, menos para 3D.

A pesar de muchos intentos, el siglo terminó pero la incógnita persistió, y la conjetura de Poincaré fue incluida en la lista de los siete problemas matemáticos del milenio, cuya resolución sería premiada con un millón de dólares por el Instituto Clay de Matemáticas de Massachusetts, EU.

Dos años más tarde, el 11 del 11 de 2002, en el sitio web público arXiv apareció la primera de tres entregas de un escrito titulado “La fórmula de entropía para el flujo de Ricci y sus aplicaciones geométricas”.

En su totalidad, el texto se extendía por 39 páginas y estaba firmado por Grisha Perelman.

Poco ortodoxo

Grigori “Grisha” Perelman había estado trabajando en el tema en su natal San Petersburgo, a donde había regresado en 1995 tras vivir unos años en Estados Unidos porque, según le dijo a un colega, se dio cuenta de que en Rusia trabajaba mejor.

No era un desconocido entre la comunidad matemática: en 1994 había probado la conjetura del Alma, la cual afirma que uno puede deducir las propiedades de un objeto matemático a partir de pequeñas regiones de estos objetos, llamados alma.

Después de eso, le ofrecieron cargos en algunas de las principales universidades del mundo, incluidas Stanford y Princeton, pero prefirió tomar un puesto de investigador en el Instituto Steklov en San Petersburgo, que pagaba menos de cien dólares al mes.

De su viaje a Estados Unidos se había llevado, según dijo, suficiente dinero para vivir bien. Pero también se llevó una duda planteada por un matemático estadounidense al que admiraba: Richard Hamilton.

Flujos que no fluían

En 1982, Hamilton había publicado un artículo sobre una ecuación llamada el flujo de Ricci, con la cual sospechaba que se podía probar la conjetura de Poincaré. Pero la tarea era extremadamente técnica y su ejecución, complicada.

En 1993, Perelman aceptó una beca de investigación Miller en la Universidad de California, Berkeley, y estando allá asistió a varias conferencias de Hamilton.

Al final de una de ellas, Hamilton le habló a Perelman sobre el mayor obstáculo que había encontrado al tratar de probar la conjetura, y el ruso le señaló que él había hecho un estudio que le podía servir para superarlo. Pero Hamilton no le prestó atención.

Dos años más tarde, Perelman leyó un artículo de Hamilton en el que discutía algunas de sus ideas para probar la conjetura de Poincaré y notó que en el matemático no había ningún progreso: estaba atascado.

Queriendo colaborar, Perelman le escribió una larga carta explicándole sus ideas, pero Hamilton nunca respondió. Perelman tuvo que trabajar solo y lo que publicó en internet en 2002 fue el resultado de sus esfuerzos.

¡Lo logró!

La publicación de Perelman provocó un interés enorme entre los matemáticos. Aunque ni en su título ni en ninguna parte aparecía una mención directa de Poincaré, cuatro años más tarde, emergió un consenso en la comunidad matemática: Perelman había probado la conjetura.

Si cuatro años parecen una eternidad, ten en cuenta que estamos hablando de matemáticas. A diferencia de otros campos del conocimiento, en los que las teorías siempre pueden ser revisadas, la prueba de un teorema es definitiva, así que no sorprende que los al menos dos equipos de expertos que la examinaron se tomaran todo el tiempo necesario para verificar que no había brechas o errores significativos.

Además, los artículos no contenían explicaciones o digresiones, y su prueba era tan compleja que hasta para los expertos era difícil de entender.

Por eso, analizarla tomaba tiempo y dedicación: la explicación detallada hecha por uno de esos equipos de expertos que examinaron lo que Perelman presentó en 39 páginas ocupó 473 páginas.

El silencio del genio

Después de más de un siglo de intentos frustrados, la conjetura de un brillante matemático había sido probada por otro igual de genial, aunque más excéntrico.

El teórico ruso recibió una lluvia de ofertas -de honores, premios en dinero en efectivo y fondos para investigación, así como lucrativos cargos académicos en las universidades más distinguidas del planeta y giras mundiales dando conferencias- que, según todos los informes, consideró profundamente ofensivas.

“La monetización del logro es el máximo insulto a las matemáticas”, afirmó.

Consecuentemente, rechazó todo, incluida la medalla Fields, el equivalente matemático a un premio Nobel, por “sus contribuciones a la geometría y sus ideas revolucionarias”, que lo llevaron a su prueba sobresaliente, un premio de la Sociedad Matemática Europea y el millón de dólares que el Instituto Clay quería darle por solucionar uno de los problemas del milenio.

“Si la prueba es correcta, no necesita otro tipo de reconocimiento”, explicó.

Luego dejó de hablar con los medios, anunció que dejaba su profesión y se retiró para vivir con su madre como un semirecluso en un modesto apartamento, del que dicen que sólo sale a comprar víveres y de vez en cuando asiste a la ópera y a conciertos de música clásica.

“No me interesa el dinero ni la fama; no quiero estar en exhibición como un animal en un zoológico”, declaró.

Mientras que muchos lo tacharon de “loco”, particularmente por rechazar el millón de dólares -hay hasta un libro que alega que sufre de una forma de autismo-, hay quienes consideran noble el hecho de que le emocione demostrar teoremas y no ganar premios.

En cualquier caso, lo lamentable -para el avance científico, al menos- es que, además de alejarse del mundanal ruido, parece que efectivamente abandonó las matemáticas por completo.

¿O será que un día nos sorprenderá con otra brillante publicación en algún sitio de internet?